5/05/2012
Unknown
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Terdapat beberapa istilah yang digunakan dalam uraian pada bab selanjutnya, yaitu:
Viscositas (kekentalan) merupakan ukuran gesekan di bagian dalam suatu fluida.
Debit adalah besaran yang menyatakan volum fluida yang mengalir melalui suatu penampang tertentu dalam satuan waktu tertentu.
Nilai Eigen (nilai karakteristik) adalah semua nilai λ yang memenuhi persamaan Ax = λ x sehingga ada nilai x yang nyata ( bukan vektor 0 saja ) dengan A matriks berukuran n x n dan x ∈ Rn.
Outflow clepsydra, yaitu jenis jam air dimana air dalam bejana tersebut mengalir keluar melalui sebuah pipa yang melekat di dindingnya.
Inflow clepsydra, yaitu jenis jam air yang mengukur waktu didasarkan pada ketinggian air yang mengalir masuk ke dalam sebuah bejana.
Polyvascular clepsydra, yaitu jam air yang tersusun dari serangkaian bejana yang mengalirkan air dari bejana satu ke bejana lainnya dengan dilengkapi satu bejana penampung yang berfungsi sebagai pengukur waktu.
Pada masa sebelum Masehi, bangsa Mesir menggunakan matahari sebagai alat penunjuk waktu. Pada perkembangannya manusia kemudian menemukan jam air atau disebut juga clepsydra. Jenis jam air ini merupakan alat penunjuk waktu pertama yang tidak menggunakan sinar matahari. Tipe paling sederhana dari jam air disebut outflow clepsydra. Salah satu clepsydra yang tertua adalah clepsydra jenis ini.
Jenis lain lagi adalah inflow clepsydra. Inflow clepsydra ini berbentuk mangkuk dengan lubang didasarnya dan dahulunya digunakan oleh orang Yunani untuk mengukur waktu. Ada variasi lain dari jenis inflow clepsydra yaitu sinking bowl clepsydra.. Sinking bowl ini ditemukan di India sekitar 400 M.
Karena adanya masalah dengan aliran air yang tidak tetap, para insinyur Cina menemukan jenis polyvascular clepsydra. Solusi lain dari masalah laju air ini adalah menggunakan suatu pelampung dalam overflow tank yang berfungsi sebagai stopcock (keran). Pelampung ini mencegah masuknya air apabila ketinggian air meningkat. Begitu pula sebaliknya membiarkan air masuk apabila ketinggian air menurun.
Prinsip kerja jam air jenis polyvascular clepsidra dapat digunakan dalam kehidupan nyata. Prinsip kerja tersebut akan penulis uraikan pada akhir bab 3, yaitu dengan kasus viscosity dominated pada perusahaan air minum PT Sidatama.
Perumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah
Bagaimana model matematika dari jam air jenis polyvascular clepsydra dengan kasus viscosity dominated ?
Bagaimana analisis kestabilan model dari jam air jenis polivascular clepsydra dengan kasus viscosity dominated?
Tujuan
Makalah ini dibuat bertujuan untuk:
Mengetahui model matematika jam air jenis polivascular clepsydra dengan kasus viscosity dominated.
Mengetahui hasil analisis kestabilan dari jam air.
Manfaat
Dengan pembahasan tentang jam air ini, penulis dapat menerapkan konsep-konsep matematika dalam permasalahan nyata yang terjadi dan sebagai pendorong bagi peneliti lanjut untuk melakukan penelitian yang lebih baik dan mendalam terhadap permasalahan yang sama.
Batasan Masalah
Dalam makalah ini akan dibahas persamaan dari model matematika yang diperoleh dengan asumsi bahwa pipa yang menempel pada bagian dasar bejana yang berfungsi untuk mengalirkan air berdiameter kecil sehingga model tidak berlaku untuk kasus lain yang melibatkan pipa yang berdiameter besar yang berpengaruh terhadap perubahan debit air.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Konsep Differensial
Definisi
y' = f’(x) = dy/dx= lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗
Sifat-sifat
1. Jika y = c maka y’ = 0
2. Jika y = c f(x) maka y’ = c f’(x)
3. Jika y = u(x) ± v(x) maka y’ = u’(x) ± v’(x)
4. Jika y = u(x) . v(x) maka y’ = u’(x) v(x) + u(x) . v’(x)
5. Jika y = (u(x))/(v(x)) maka y’ = (u^' (x).v(x)-u(x).v'(x))/(v^2 (x))
6. Jika f(x) = axn maka f’(x) = a.nxn-1
Konsep Integral
Definisi
Integral adalah anti-turunan
∫▒〖f^' (x)dx=f(x)+c〗
Sifat-Sifat
1.∫▒〖x^n dx=1/(n+1)〗 x^(n+1)+c
2.∫▒〖x^(-1) dx=lnx 〗 +c
3.∫▒〖a dx=ax〗+c
Konsep Matriks
Definisi
Matriks adalah kumpulan elemen-elemen yang disusun dalam baris dan kolom
Transpose Matriks
Transpose matriks A = AT
Contoh:
A = ( ■(a&b@c&d@e&f) ) AT = ( ■(a&c&e@b&d&f) )
Operasi pada Matriks
Penjumlahan dan Pengurangan
Operasi penjumlahan dan pengurangan matriks berlaku jika ordo kedua mtriks sama.
Contoh:
( ■(-4&2@1&1))+( ■(7&0@0&-6))=( ■(3&2@1&-5))
Perkalian Matriks
Perkalian matriks dengan skalar
k.A = (■(ka&kb@kc&kd)) ;k=skalar
Perkalian matriks dengan matriks
Dua buah matriks dapat saling saling dikalikan apabila banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.
Amxn x Bnxp = Cmxp
Determinan
Determinan hanya dimiliki matriks-matriks persegi (banyak baris dan kolom sama)
Contoh:
A = (■(a&b@c&d))
Det A = |A| = ad – bc
B = (■(a&b&c@d&e&f@g&h&i))
Det B = |B| = (aei +bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)
Invers
Suatu matriks akan mempunyai invers jika determinannya tidak nol
A = (■(a&b@c&d)) A-11/(ad-bc) (■(d&-b@-c&a))
Konsep Notasi Faktorial
n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n
1! = 0! = 1
Dengan n bilangan asli
Konsep Logaritma Natural dan Eksponensial
Definisi
ln x = ∫_1^x▒〖1/t dt〗 , x > 0
d/dx(ln〖x)〗= 1/x , x > 0
B. Sifat-sifat
1.eln = 1
2. ln 1 = 0
3. ln ab = ln a + ln b
4. ln a/b = ln a – ln b
5. ln ar = r ln a
Hukum Poisseuille
Viscositas merupakan ukuran gesekan di bagian dalam suatu fluida. Fluida sebenarnya terdiri atas beberapa lapisan, karena adanya viscositas diperlu-kan gaya untuk meluncurkan satu lapisan fluida di atas lapisan fluida yang lain.
Misalkan dalam sepotong pipa yang radius dalamnya dan panjangnya L mengalir fluida yang viscositasnya . Sebuah silinder kecil beradius r berada dalam kesetimbangan bergerak dalam kecepatan konstan. Hal ini disebabkan gaya dorong yang timbul akibat perbedaan tekanan antara ujung-ujung silinder itu serta gaya kekentalan yang menekan pada permukaan luar. Gaya dorong ini adalah,
(1)
berikut akan ditunjukkan gambar gaya terhadap seunsur fluida kental.
Gaya Terhadap Seunsur Silindris Fluida Kental
Mengingat kembali efek viscositas, gaya kekentalan dirumuskan sebagai,
(2)
dengan adalah gradien kecepatan pada jarak radial r dari sumbu. Tanda negatif diberikan karena v berkurang bila r bertambah.
Selanjutnya persamaan (2) diintegralkan untuk memperoleh persamaan untuk kecepatan , yaitu
(3)
dengan adalah suatu nilai r tertentu pada suatu nilai tertentu pula.
Untuk jari-jari silinder dalam pipa mendatar yang masih berubah-ubah, maka kecepatan aliran fluida dalam pipa juga akan berubah mengikuti perubahan jari-jari. Dalam hal ini semakin besar jari-jari silinder dalam pipa, maka akan semakin kecil kecil kecepatan aliran fluidanya.
Sehingga persamaan (3) dapat dituliskan sebagai berikut,
(4)
Untuk menghitung kecepatan pengosongan q atau volume fluida yang melewati sebarang penampang pipa persatuan waktu dapat diuraikan sebagai berikut. Volume fluida dV yang melewati ujung-ujung unsur ini waktu dt ialah v dA dt, dengan v adalah kecepatan pada radius r dan dA ialah luas penampang melintang pipa. Dengan mengambil rumusan v dari persamaan (4) dan dA = . Dalam persamaan (4) nilai masih dapat berubah-ubah, oleh karena itu , sehingga diperoleh,
Volume yang mengalir melewati seluruh penampang lintang diperoleh dengan mengintegralkan seluruh unsur antara r = 0 dan r = R.
(5)
Rumus ini pertama kali dirumuskan oleh Poisseuille dan dinamakan hukum Poisseulle.
BAB III
PEMBAHASAN
Permasalahan Nyata
Deskripsi
Misal terdapat bejana sejumlah N yang membentuk polyvascular clepsydra. Pada dinding masing-masing bejana pada bagian dasarnya melekat sebuah pipa yang berfungsi untuk mengalirkan air. Mula-mula seluruh bejana penuh terisi air. Selain itu diberikan pula sebuah bejana penam-pung yang pada awalnya kosong. Bejana– bejana tersebut dirangkai seperti pada gambar.
Rangkaian Polyvaskular Clepsydra dengan N Bejana
Misalkan yi(t) adalah ketinggian air pada bejana i pada saat t. Karena mula-mula bejana dalam keadaan penuh, dimisalkan ketinggian air mula-mula t = 0 adalah 1 satuan tinggi.
Karena bejana berbentuk silinder maka volume air di dalam bejana adalah luas alas dikalikan tinggi air dalam bejana.
V = {π 〖R_B〗^2 y_i (t)}
dengan:
: Volume dalam bejana
: Jari-jari bejana
Dalam bejana, debit air dipengaruhi oleh volume air dan berapa lama waktu yang diperlukan untuk mengalirkan volume air tersebut. Debit air yang me-ninggalkan bejana dapat dihitung dengan,
(6)
dengan hukum konservasi massa debit air yang meninggalkan pipa sama dengan debit air yang memasuki bejana dikurangi debit air yang meninggalkan bejana.
Variabel
Waktu (t) satuannya detik (s)
Debit air (q) satuannya liter/detik
Volume (V) satuannya liter = dm3
Tekanan (p) satuannya Pascal
Panjang pipa (L) satuannya meter (m)
Jari-jari dalam bejana (R) satuannya meter (m)
Jari-jari pipa (r) satuannya meter (m)
Tinggi bejana (yi(t)) satuannya meter (m)
Jumlah bejana (N)
Gravitasi (g) satuannya m/s2
Masa jenis air (ρ) satuannya 1000 kg/m3
Epsilon (e)
Viskositas ( ) satuannya 10-3 dyne s/cm3
Formulasi Model
Untuk bejana pertama karena tidak ada debit air yang memasuki bejana 1 maka persamaan untuk bejana 1 dinyatakan seperti pada persamaan (7),
(7)
sedangkan bejana dua dan seterusnya sampai bejana ke – N persamaannya dinyatakan seperti pada persamaan (8),
(8)
misalkan , persamaan (7) dan (8) dapat ditulis dalam persamaan (9) dan (10),
(9)
(10)
Syarat batas untuk persamaan (9) dan (10) adalah
Persamaan (9) dapat diselesaikan dengan
(dy_1 (t))/dt = -sy_1 (t) y_1 (t)=v .t
(dy_1 (t))/dt = t. dv/dt + v
t. dv/dt + v = -s(v.t)
t. dv/dt = -svt – v
t. dv/dt = v(-st – 1)
1/v dv/dt = (-st-1)/t dt
∫▒〖1/v dv/dt〗 =∫▒(-st-1)/t dt
lv= ∫▒(-s-1/t)dt
ln v = -st – ln
ln v + ln t = -st
ln (v.t) v = (y_1 (t))/t
ln ((y_1 (t))/t.t) = -st
ln y_1 (t)= -st
e^(ln〖 y〗_1 (t) )= e^(-st)
Sehingga diperoleh solusi sebagai berikut:
Persamaan (10) merupakan persamaan differensial biasa. Dapat diselesaikan dengan menggunakan faktor integral = e^(-st)
(dy_2 (t))/dt = sy_1 (t)-sy_2 (t)
(dy_2 (t))/dt + s y2(t) = sy_1 (t)
d/dt (y2(t) FI ) = s y1(t) . est
y2 (t) est = ∫▒〖sy_1 (t) 〗 e^st dt
y2 (t) est = ∫▒s dt
y2 (t) est = st
y2 (t) = st/e^st
y2 (t) = s t e –st
y2 (t) = e-st + s t e-st
= e –st (1+st)
= (1+st) e –st
sehingga diperoleh solusi berikut
Dengan cara yang sama diperoleh
dengan menggunakan induksi matematika diperoleh solusi untuk adalah sebagai berikut,
Solusi dari ini dapat pula dituliskan sebagai,
dapat disederhanakan menjadi,
Lemma [8]: Jika , maka
Lemma di atas memberikan jaminan berapa lama waktu yang dibutuhkan agar air mencapai ketinggian tertentu.
Evaluasi Model
Persamaan (9) dan (10) dapat di-misalkan menjadi,
, (11)
untuk
Persamaan (11) ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut,
Dengan menggunakan analisa kestabilan Liapunov dapat ditentukan kestabilan dari sistem di atas asalkan nilai s diketahui.
Interpretasi
Semakin banyak bejana yang digunakan, akan semakin lama aliran air konstan
Waktu yang diperlukan agar air mencapai suatu ketinggian tertentu berbanding lurus dengan perkalian antara jumlah bejana, selisih tinggi mula-mula dengan ketinggian diinginkan yang dipangkatkan satu per jumlah bejana, pangkat dua dari jari-jari bejana, koefiien viscositas zt dan panjang pipa tempat mengalirnya air
Waktu berbanding terbalik dengan perkalian bilangan natural (e), pangkat empat dari jari-jari pipa, massa jenis zat dan percepatan grafitasi.
Studi Kasus
Pada bagian ini akan dibahas studi kasus pada perusahaan air minum PT Sidatama. PT Sidatama adalah perusahaan yang memproduksi air minum murni dengan sistem Reverse Osmosis (RO).
Perusahaan ini memproduksi air minum dengan merk be’s. Air minum be’s diproduksi dalam bentuk air minum cup dan galon. Dalam studi kasus ini akan dibahas produksi air minum be’s dalam bentuk cup.
Dalam pengisian air ke dalam cup – cup perusahaan menggunakan satu buah tangki dengan dua buah kran otomatis yang mengalirkan air masuk dan keluar tangki. Kran di bawah tangki berguna untuk mengatur volume air yang masuk ke dalam cup, sedangkan kran di atas tangki berguna untuk mengatur ketinggian air dalam tangki. Hal ini dikarenakan, aliran keluar dari tangki harus konstan. Aliran konstan ini diperoleh jika ketinggian air dalam tangki konstan.
Data dari perusahaan tentang tangki tempat penampung air adalah sebagai berikut:
Tangki yang dipergunakan berbentuk silinder dengan diameter 30 cm dan tinggi 40 cm.
Pipa tempat mengalirnya air dari masing-masing tangki melekat pada bagian dasar tangki dengan panjang 30 cm dan diameternya 2,25 cm.
Karena perusahaan hanya meng-gunakan satu tangki, maka aliran konstan hanya terjadi sebentar. Hal ini mengakibat-kan kran di atas tangki membuka dan menutup dalam frekuensi tinggi. Akibat-nya kran ini cepat rusak. Oleh karena itu perusahaan ini agar aliran konstan lebih lama. Dimaksudkan agar kran pada bagian atas tangki lebih awet.
Perusahaan menganggap aliran air konstan mulai dari tangki penuh hingga ketinggian 38 cm. Oleh karena itu perusahaan ingin mengetahui berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian 38 cm. Waktu yang diperoleh akan digunakan untuk dimasukkan dalam program komputer guna membuka dan menutup kran otomatis.
Agar ketinggian air konstan dalam waktu yang lebih lama maka perusahaan harus menambah jumlah tangki dan menyusunnya seperti rangkaian polyvas-cular clepsydra. Berdasarkan prinsip kerja polyvascular clepsydra, semakin banyak tangki yang digunakan maka semakin lama aliran konstannya. Namun karena keter-batasan ruang, perusahaan hanya bisa me-nyusun 3 buah tangki.
Gambar 4. Rangkaian Tiga Tangki dengan
Kran Otomatis
Karena pipa tempat mengalirnya air kecil maka terdapat kasus viscosity dominated. Oleh karena itu untuk mencari tahu berapa lama aliran konstan dapat digunakan model jam air jenis polyvas-cular clepsydra kasus viscosity dominated.
Misalkan,
: ketinggian air pada tangki ke – i untuk i = 1,2,3
Model matematika seperti yang telah diperoleh pada bagian sebelumnya adalah sebagai berikut,
(12)
(13)
(14)
Sebelumnya akan dihitung besarnya s terlebih dahulu.
maka
apabila diselesaikan akan diperoleh besarnya adalah sebagai berikut,
Model ketinggian air pada tangki kedua sebagai berikut,
Selanjutnya model perubahan ketinggian air pada tangki ketiga.
Mencari berapa waktu yang dibutuhkan agar air mencapai ketinggian 38 cm dapat digunakan Lemma.
Akan dicari terlebih dahulu kapan .
Berdasarkan Lemma jika maka
Diperoleh atau
maka diperoleh atau
Analisa kestabilan sistem
Persamaan (12), (13) dan (14) dapat dituliskan sebagai berikut,
(15)
Titik kesetimbangan terjadi pada , dan . Apabila dicari dengan perhitungan , dan .
Persamaan (15) dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut,
misalkan
A =
det(A) = -24,63404
Karena determinan A tidak sama dengan nol maka A matriks non singular. Untuk mencari kestabilan sistem ditentukan dengan mencari matriks definit positif P yang memenuhi kondisi berikut,
, dengan Q adalah matrik real definit positif.
Dipilih matriks Q adalah matriks sebagai berikut,
Q =
Misal matriks P =
Matriks P yang memenuhi persamaan dengan Q adalah matriks seperti disebut sebelumnya adalah
P =
Nilai Eigen dari matriks P adalah , dan
Oleh karena itu matriks P adalah matriks definit positif.
Karena dapat ditentukan matriks P yang definit positif dan memenuhi kondisi maka sistem pada persamaan (12), (13) dan (14) stabil.
DAFTAR PUSTAKA
Elfandari, Nana. 2009. Buku Sakti Matematika SMA IPA. Jaakarta: Kendi Mas Media
http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=pemodelan%20matematika%20jam%20air&source=web&cd=1&sqi=2&ved=0CBcQFjAA&url=http%3A%2F%2Feprints.undip.ac.id%2F1873%2F1%2F3._Widowati.doc&ei=q4GyTrToIcWYiAfKnanuAQ&usg=AFQjCNEpI9IuwGjo6SVjbeVu4-ZIxA3Mnw&cad=rja (didownload tanggal 2 November 2011 jam 14.00)
http://library.um.ac.id/free-contents/download/pub/pub.php/47472.pdf (didownload tanggal 4 November 2011 jam 17.30)
Kanginan, Marten. 2007. Fisika SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Terdapat beberapa istilah yang digunakan dalam uraian pada bab selanjutnya, yaitu:
Viscositas (kekentalan) merupakan ukuran gesekan di bagian dalam suatu fluida.
Debit adalah besaran yang menyatakan volum fluida yang mengalir melalui suatu penampang tertentu dalam satuan waktu tertentu.
Nilai Eigen (nilai karakteristik) adalah semua nilai λ yang memenuhi persamaan Ax = λ x sehingga ada nilai x yang nyata ( bukan vektor 0 saja ) dengan A matriks berukuran n x n dan x ∈ Rn.
Outflow clepsydra, yaitu jenis jam air dimana air dalam bejana tersebut mengalir keluar melalui sebuah pipa yang melekat di dindingnya.
Inflow clepsydra, yaitu jenis jam air yang mengukur waktu didasarkan pada ketinggian air yang mengalir masuk ke dalam sebuah bejana.
Polyvascular clepsydra, yaitu jam air yang tersusun dari serangkaian bejana yang mengalirkan air dari bejana satu ke bejana lainnya dengan dilengkapi satu bejana penampung yang berfungsi sebagai pengukur waktu.
Pada masa sebelum Masehi, bangsa Mesir menggunakan matahari sebagai alat penunjuk waktu. Pada perkembangannya manusia kemudian menemukan jam air atau disebut juga clepsydra. Jenis jam air ini merupakan alat penunjuk waktu pertama yang tidak menggunakan sinar matahari. Tipe paling sederhana dari jam air disebut outflow clepsydra. Salah satu clepsydra yang tertua adalah clepsydra jenis ini.
Jenis lain lagi adalah inflow clepsydra. Inflow clepsydra ini berbentuk mangkuk dengan lubang didasarnya dan dahulunya digunakan oleh orang Yunani untuk mengukur waktu. Ada variasi lain dari jenis inflow clepsydra yaitu sinking bowl clepsydra.. Sinking bowl ini ditemukan di India sekitar 400 M.
Karena adanya masalah dengan aliran air yang tidak tetap, para insinyur Cina menemukan jenis polyvascular clepsydra. Solusi lain dari masalah laju air ini adalah menggunakan suatu pelampung dalam overflow tank yang berfungsi sebagai stopcock (keran). Pelampung ini mencegah masuknya air apabila ketinggian air meningkat. Begitu pula sebaliknya membiarkan air masuk apabila ketinggian air menurun.
Prinsip kerja jam air jenis polyvascular clepsidra dapat digunakan dalam kehidupan nyata. Prinsip kerja tersebut akan penulis uraikan pada akhir bab 3, yaitu dengan kasus viscosity dominated pada perusahaan air minum PT Sidatama.
Perumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah
Bagaimana model matematika dari jam air jenis polyvascular clepsydra dengan kasus viscosity dominated ?
Bagaimana analisis kestabilan model dari jam air jenis polivascular clepsydra dengan kasus viscosity dominated?
Tujuan
Makalah ini dibuat bertujuan untuk:
Mengetahui model matematika jam air jenis polivascular clepsydra dengan kasus viscosity dominated.
Mengetahui hasil analisis kestabilan dari jam air.
Manfaat
Dengan pembahasan tentang jam air ini, penulis dapat menerapkan konsep-konsep matematika dalam permasalahan nyata yang terjadi dan sebagai pendorong bagi peneliti lanjut untuk melakukan penelitian yang lebih baik dan mendalam terhadap permasalahan yang sama.
Batasan Masalah
Dalam makalah ini akan dibahas persamaan dari model matematika yang diperoleh dengan asumsi bahwa pipa yang menempel pada bagian dasar bejana yang berfungsi untuk mengalirkan air berdiameter kecil sehingga model tidak berlaku untuk kasus lain yang melibatkan pipa yang berdiameter besar yang berpengaruh terhadap perubahan debit air.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Konsep Differensial
Definisi
y' = f’(x) = dy/dx= lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗
Sifat-sifat
1. Jika y = c maka y’ = 0
2. Jika y = c f(x) maka y’ = c f’(x)
3. Jika y = u(x) ± v(x) maka y’ = u’(x) ± v’(x)
4. Jika y = u(x) . v(x) maka y’ = u’(x) v(x) + u(x) . v’(x)
5. Jika y = (u(x))/(v(x)) maka y’ = (u^' (x).v(x)-u(x).v'(x))/(v^2 (x))
6. Jika f(x) = axn maka f’(x) = a.nxn-1
Konsep Integral
Definisi
Integral adalah anti-turunan
∫▒〖f^' (x)dx=f(x)+c〗
Sifat-Sifat
1.∫▒〖x^n dx=1/(n+1)〗 x^(n+1)+c
2.∫▒〖x^(-1) dx=lnx 〗 +c
3.∫▒〖a dx=ax〗+c
Konsep Matriks
Definisi
Matriks adalah kumpulan elemen-elemen yang disusun dalam baris dan kolom
Transpose Matriks
Transpose matriks A = AT
Contoh:
A = ( ■(a&b@c&d@e&f) ) AT = ( ■(a&c&e@b&d&f) )
Operasi pada Matriks
Penjumlahan dan Pengurangan
Operasi penjumlahan dan pengurangan matriks berlaku jika ordo kedua mtriks sama.
Contoh:
( ■(-4&2@1&1))+( ■(7&0@0&-6))=( ■(3&2@1&-5))
Perkalian Matriks
Perkalian matriks dengan skalar
k.A = (■(ka&kb@kc&kd)) ;k=skalar
Perkalian matriks dengan matriks
Dua buah matriks dapat saling saling dikalikan apabila banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.
Amxn x Bnxp = Cmxp
Determinan
Determinan hanya dimiliki matriks-matriks persegi (banyak baris dan kolom sama)
Contoh:
A = (■(a&b@c&d))
Det A = |A| = ad – bc
B = (■(a&b&c@d&e&f@g&h&i))
Det B = |B| = (aei +bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)
Invers
Suatu matriks akan mempunyai invers jika determinannya tidak nol
A = (■(a&b@c&d)) A-11/(ad-bc) (■(d&-b@-c&a))
Konsep Notasi Faktorial
n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n
1! = 0! = 1
Dengan n bilangan asli
Konsep Logaritma Natural dan Eksponensial
Definisi
ln x = ∫_1^x▒〖1/t dt〗 , x > 0
d/dx(ln〖x)〗= 1/x , x > 0
B. Sifat-sifat
1.eln = 1
2. ln 1 = 0
3. ln ab = ln a + ln b
4. ln a/b = ln a – ln b
5. ln ar = r ln a
Hukum Poisseuille
Viscositas merupakan ukuran gesekan di bagian dalam suatu fluida. Fluida sebenarnya terdiri atas beberapa lapisan, karena adanya viscositas diperlu-kan gaya untuk meluncurkan satu lapisan fluida di atas lapisan fluida yang lain.
Misalkan dalam sepotong pipa yang radius dalamnya dan panjangnya L mengalir fluida yang viscositasnya . Sebuah silinder kecil beradius r berada dalam kesetimbangan bergerak dalam kecepatan konstan. Hal ini disebabkan gaya dorong yang timbul akibat perbedaan tekanan antara ujung-ujung silinder itu serta gaya kekentalan yang menekan pada permukaan luar. Gaya dorong ini adalah,
(1)
berikut akan ditunjukkan gambar gaya terhadap seunsur fluida kental.
Gaya Terhadap Seunsur Silindris Fluida Kental
Mengingat kembali efek viscositas, gaya kekentalan dirumuskan sebagai,
(2)
dengan adalah gradien kecepatan pada jarak radial r dari sumbu. Tanda negatif diberikan karena v berkurang bila r bertambah.
Selanjutnya persamaan (2) diintegralkan untuk memperoleh persamaan untuk kecepatan , yaitu
(3)
dengan adalah suatu nilai r tertentu pada suatu nilai tertentu pula.
Untuk jari-jari silinder dalam pipa mendatar yang masih berubah-ubah, maka kecepatan aliran fluida dalam pipa juga akan berubah mengikuti perubahan jari-jari. Dalam hal ini semakin besar jari-jari silinder dalam pipa, maka akan semakin kecil kecil kecepatan aliran fluidanya.
Sehingga persamaan (3) dapat dituliskan sebagai berikut,
(4)
Untuk menghitung kecepatan pengosongan q atau volume fluida yang melewati sebarang penampang pipa persatuan waktu dapat diuraikan sebagai berikut. Volume fluida dV yang melewati ujung-ujung unsur ini waktu dt ialah v dA dt, dengan v adalah kecepatan pada radius r dan dA ialah luas penampang melintang pipa. Dengan mengambil rumusan v dari persamaan (4) dan dA = . Dalam persamaan (4) nilai masih dapat berubah-ubah, oleh karena itu , sehingga diperoleh,
Volume yang mengalir melewati seluruh penampang lintang diperoleh dengan mengintegralkan seluruh unsur antara r = 0 dan r = R.
(5)
Rumus ini pertama kali dirumuskan oleh Poisseuille dan dinamakan hukum Poisseulle.
BAB III
PEMBAHASAN
Permasalahan Nyata
Deskripsi
Misal terdapat bejana sejumlah N yang membentuk polyvascular clepsydra. Pada dinding masing-masing bejana pada bagian dasarnya melekat sebuah pipa yang berfungsi untuk mengalirkan air. Mula-mula seluruh bejana penuh terisi air. Selain itu diberikan pula sebuah bejana penam-pung yang pada awalnya kosong. Bejana– bejana tersebut dirangkai seperti pada gambar.
Rangkaian Polyvaskular Clepsydra dengan N Bejana
Misalkan yi(t) adalah ketinggian air pada bejana i pada saat t. Karena mula-mula bejana dalam keadaan penuh, dimisalkan ketinggian air mula-mula t = 0 adalah 1 satuan tinggi.
Karena bejana berbentuk silinder maka volume air di dalam bejana adalah luas alas dikalikan tinggi air dalam bejana.
V = {π 〖R_B〗^2 y_i (t)}
dengan:
: Volume dalam bejana
: Jari-jari bejana
Dalam bejana, debit air dipengaruhi oleh volume air dan berapa lama waktu yang diperlukan untuk mengalirkan volume air tersebut. Debit air yang me-ninggalkan bejana dapat dihitung dengan,
(6)
dengan hukum konservasi massa debit air yang meninggalkan pipa sama dengan debit air yang memasuki bejana dikurangi debit air yang meninggalkan bejana.
Variabel
Waktu (t) satuannya detik (s)
Debit air (q) satuannya liter/detik
Volume (V) satuannya liter = dm3
Tekanan (p) satuannya Pascal
Panjang pipa (L) satuannya meter (m)
Jari-jari dalam bejana (R) satuannya meter (m)
Jari-jari pipa (r) satuannya meter (m)
Tinggi bejana (yi(t)) satuannya meter (m)
Jumlah bejana (N)
Gravitasi (g) satuannya m/s2
Masa jenis air (ρ) satuannya 1000 kg/m3
Epsilon (e)
Viskositas ( ) satuannya 10-3 dyne s/cm3
Formulasi Model
Untuk bejana pertama karena tidak ada debit air yang memasuki bejana 1 maka persamaan untuk bejana 1 dinyatakan seperti pada persamaan (7),
(7)
sedangkan bejana dua dan seterusnya sampai bejana ke – N persamaannya dinyatakan seperti pada persamaan (8),
(8)
misalkan , persamaan (7) dan (8) dapat ditulis dalam persamaan (9) dan (10),
(9)
(10)
Syarat batas untuk persamaan (9) dan (10) adalah
Persamaan (9) dapat diselesaikan dengan
(dy_1 (t))/dt = -sy_1 (t) y_1 (t)=v .t
(dy_1 (t))/dt = t. dv/dt + v
t. dv/dt + v = -s(v.t)
t. dv/dt = -svt – v
t. dv/dt = v(-st – 1)
1/v dv/dt = (-st-1)/t dt
∫▒〖1/v dv/dt〗 =∫▒(-st-1)/t dt
lv= ∫▒(-s-1/t)dt
ln v = -st – ln
ln v + ln t = -st
ln (v.t) v = (y_1 (t))/t
ln ((y_1 (t))/t.t) = -st
ln y_1 (t)= -st
e^(ln〖 y〗_1 (t) )= e^(-st)
Sehingga diperoleh solusi sebagai berikut:
Persamaan (10) merupakan persamaan differensial biasa. Dapat diselesaikan dengan menggunakan faktor integral = e^(-st)
(dy_2 (t))/dt = sy_1 (t)-sy_2 (t)
(dy_2 (t))/dt + s y2(t) = sy_1 (t)
d/dt (y2(t) FI ) = s y1(t) . est
y2 (t) est = ∫▒〖sy_1 (t) 〗 e^st dt
y2 (t) est = ∫▒s dt
y2 (t) est = st
y2 (t) = st/e^st
y2 (t) = s t e –st
y2 (t) = e-st + s t e-st
= e –st (1+st)
= (1+st) e –st
sehingga diperoleh solusi berikut
Dengan cara yang sama diperoleh
dengan menggunakan induksi matematika diperoleh solusi untuk adalah sebagai berikut,
Solusi dari ini dapat pula dituliskan sebagai,
dapat disederhanakan menjadi,
Lemma [8]: Jika , maka
Lemma di atas memberikan jaminan berapa lama waktu yang dibutuhkan agar air mencapai ketinggian tertentu.
Evaluasi Model
Persamaan (9) dan (10) dapat di-misalkan menjadi,
, (11)
untuk
Persamaan (11) ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut,
Dengan menggunakan analisa kestabilan Liapunov dapat ditentukan kestabilan dari sistem di atas asalkan nilai s diketahui.
Interpretasi
Semakin banyak bejana yang digunakan, akan semakin lama aliran air konstan
Waktu yang diperlukan agar air mencapai suatu ketinggian tertentu berbanding lurus dengan perkalian antara jumlah bejana, selisih tinggi mula-mula dengan ketinggian diinginkan yang dipangkatkan satu per jumlah bejana, pangkat dua dari jari-jari bejana, koefiien viscositas zt dan panjang pipa tempat mengalirnya air
Waktu berbanding terbalik dengan perkalian bilangan natural (e), pangkat empat dari jari-jari pipa, massa jenis zat dan percepatan grafitasi.
Studi Kasus
Pada bagian ini akan dibahas studi kasus pada perusahaan air minum PT Sidatama. PT Sidatama adalah perusahaan yang memproduksi air minum murni dengan sistem Reverse Osmosis (RO).
Perusahaan ini memproduksi air minum dengan merk be’s. Air minum be’s diproduksi dalam bentuk air minum cup dan galon. Dalam studi kasus ini akan dibahas produksi air minum be’s dalam bentuk cup.
Dalam pengisian air ke dalam cup – cup perusahaan menggunakan satu buah tangki dengan dua buah kran otomatis yang mengalirkan air masuk dan keluar tangki. Kran di bawah tangki berguna untuk mengatur volume air yang masuk ke dalam cup, sedangkan kran di atas tangki berguna untuk mengatur ketinggian air dalam tangki. Hal ini dikarenakan, aliran keluar dari tangki harus konstan. Aliran konstan ini diperoleh jika ketinggian air dalam tangki konstan.
Data dari perusahaan tentang tangki tempat penampung air adalah sebagai berikut:
Tangki yang dipergunakan berbentuk silinder dengan diameter 30 cm dan tinggi 40 cm.
Pipa tempat mengalirnya air dari masing-masing tangki melekat pada bagian dasar tangki dengan panjang 30 cm dan diameternya 2,25 cm.
Karena perusahaan hanya meng-gunakan satu tangki, maka aliran konstan hanya terjadi sebentar. Hal ini mengakibat-kan kran di atas tangki membuka dan menutup dalam frekuensi tinggi. Akibat-nya kran ini cepat rusak. Oleh karena itu perusahaan ini agar aliran konstan lebih lama. Dimaksudkan agar kran pada bagian atas tangki lebih awet.
Perusahaan menganggap aliran air konstan mulai dari tangki penuh hingga ketinggian 38 cm. Oleh karena itu perusahaan ingin mengetahui berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian 38 cm. Waktu yang diperoleh akan digunakan untuk dimasukkan dalam program komputer guna membuka dan menutup kran otomatis.
Agar ketinggian air konstan dalam waktu yang lebih lama maka perusahaan harus menambah jumlah tangki dan menyusunnya seperti rangkaian polyvas-cular clepsydra. Berdasarkan prinsip kerja polyvascular clepsydra, semakin banyak tangki yang digunakan maka semakin lama aliran konstannya. Namun karena keter-batasan ruang, perusahaan hanya bisa me-nyusun 3 buah tangki.
Gambar 4. Rangkaian Tiga Tangki dengan
Kran Otomatis
Karena pipa tempat mengalirnya air kecil maka terdapat kasus viscosity dominated. Oleh karena itu untuk mencari tahu berapa lama aliran konstan dapat digunakan model jam air jenis polyvas-cular clepsydra kasus viscosity dominated.
Misalkan,
: ketinggian air pada tangki ke – i untuk i = 1,2,3
Model matematika seperti yang telah diperoleh pada bagian sebelumnya adalah sebagai berikut,
(12)
(13)
(14)
Sebelumnya akan dihitung besarnya s terlebih dahulu.
maka
apabila diselesaikan akan diperoleh besarnya adalah sebagai berikut,
Model ketinggian air pada tangki kedua sebagai berikut,
Selanjutnya model perubahan ketinggian air pada tangki ketiga.
Mencari berapa waktu yang dibutuhkan agar air mencapai ketinggian 38 cm dapat digunakan Lemma.
Akan dicari terlebih dahulu kapan .
Berdasarkan Lemma jika maka
Diperoleh atau
maka diperoleh atau
Analisa kestabilan sistem
Persamaan (12), (13) dan (14) dapat dituliskan sebagai berikut,
(15)
Titik kesetimbangan terjadi pada , dan . Apabila dicari dengan perhitungan , dan .
Persamaan (15) dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut,
misalkan
A =
det(A) = -24,63404
Karena determinan A tidak sama dengan nol maka A matriks non singular. Untuk mencari kestabilan sistem ditentukan dengan mencari matriks definit positif P yang memenuhi kondisi berikut,
, dengan Q adalah matrik real definit positif.
Dipilih matriks Q adalah matriks sebagai berikut,
Q =
Misal matriks P =
Matriks P yang memenuhi persamaan dengan Q adalah matriks seperti disebut sebelumnya adalah
P =
Nilai Eigen dari matriks P adalah , dan
Oleh karena itu matriks P adalah matriks definit positif.
Karena dapat ditentukan matriks P yang definit positif dan memenuhi kondisi maka sistem pada persamaan (12), (13) dan (14) stabil.
DAFTAR PUSTAKA
Elfandari, Nana. 2009. Buku Sakti Matematika SMA IPA. Jaakarta: Kendi Mas Media
http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=pemodelan%20matematika%20jam%20air&source=web&cd=1&sqi=2&ved=0CBcQFjAA&url=http%3A%2F%2Feprints.undip.ac.id%2F1873%2F1%2F3._Widowati.doc&ei=q4GyTrToIcWYiAfKnanuAQ&usg=AFQjCNEpI9IuwGjo6SVjbeVu4-ZIxA3Mnw&cad=rja (didownload tanggal 2 November 2011 jam 14.00)
http://library.um.ac.id/free-contents/download/pub/pub.php/47472.pdf (didownload tanggal 4 November 2011 jam 17.30)
Kanginan, Marten. 2007. Fisika SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga
